Перед закрытием формы вызывается виртуальный метод Form.OnClosing() с параметром типа CancelEventArgs. Для отмены закрытия формы нужно переопределить метод Form.OnClosing() в классе наследнике и в его теле выставить в true свойство Cancel. Например, я хотел обепечить что бы пользователь не мог закрыть форму, пока идет длительный процесс поиска, запущенный в отдельном потоке:

protected override void OnClosing(CancelEventArgs e)
        {
            base.OnClosing(e);

            if (_manager.OptFinder.Status == OptFinderStatuses.Looking)
            {
                e.Cancel = true;
                MessageBox.Show("Нельзя закрыть форму пока идет процесс поиска!");
            }
        }